《什么是數學》讀書筆記

　　今天，我們將從一系列公理開始，從自然數的產生一直說到實數理論的完善。你或許會對數學的“科學性”有一個新的認識。注意，本文的很大一部分內容并非直接來源《什么是數學》，這篇文章可以看作是《什么是數學》中有關章節(jié)的一個擴展。

　　自然數是數學界中最自然的數，它用來描述物體的個數，再抽象一些就是集合的元素個數。在人類文明的最早期，人們就已經很自然地用到了自然數?？梢哉f，自然數是天然產生的，其余的一切都是從自然數出發(fā)慢慢擴展演變出來的。數學家Kronecker曾說過，上帝創(chuàng)造了自然數，其余的一切皆是人的勞作。 (God made the natural numbers; all else is the work of man.)

　　隨著一些數學理論的發(fā)展，我們迫切地希望對自然數本身有一個數學描述。從邏輯上看，到底什么是自然數呢?歷史上對自然數的數學描述有過很多的嘗試。數學家Giuseppe Peano提出了一系列用于構造自然數算術體系的公理，稱為Peano公理。Peano公理認為，自然數是一堆滿足以下五個條件的符號：

　　1. 0是一個自然數;

　　2. 每個自然數a都有一個后繼自然數，記作S(a);

　　3. 不存在后繼為0的自然數;

　　4. 不同的自然數有不同的后繼。即若a≠b，則S(a)≠S(b);

　　5. 如果一個自然數集合S包含0，并且集合中每一個數的后繼仍在集合S中，則所有自然數都在集合S中。(這保證了數學歸納法的正確性)

　　形象地說，這五條公理規(guī)定了自然數是一個以0開頭的單向有序鏈表。

　　自然數的加法和乘法可以簡單地使用遞歸的方法來定義，即對任意一個自然數a，有：

　　a + 0 = a

　　a + S(b) = S(a+b)

　　a · 0 = 0

　　a · S(b) = a + (a·b)

　　其它運算可以借助加法和乘法來定義。例如，減法就是加法的逆運算，除法就是乘法的逆運算，“a≤b”的意思就是存在一個自然數c使得a+c=b。交換律、結合率和分配率這幾個基本性質也可以從上面的定義出發(fā)推導出來。

　　Peano公理提出后，多數人認為這足以定義出自然數的運算，但Poincaré等人卻開始質疑Peano算術體系的相容性：是否有可能從這些定義出發(fā)，經過一系列嚴格的數學推導，最后得出0=1之類的荒謬結論?如果一系列公理可以推導出兩個互相矛盾的命題，我們就說這個公理體系是不相容的。Hilbert的23個問題中的第二個問題就是問，能否證明Peano算術體系是相容的。這個問題至今仍有爭議。

　　在數學發(fā)展史上，引進負數的概念是一個重大的突破。我們希望當a

　　(a-b) + (c-d) = (a+c) – (b+d)

　　(a-b) · (c-d) = (ac + bd) – (ad + bc)

　　我們可以非常自然地把上面的規(guī)則擴展到a=b，符號(a-b)描述的是一個自然數;如果a

　　生活中遇到的另一個問題就是“不夠分”、“不夠除”一類的情況。三個人分六個餅，一個人兩個餅;但要是三個人分五個餅咋辦?此時，一種存在于兩個相鄰整數之間的數不可避免的產生了。為了更好地表述這種問題，我們用一個符號a/b來表示b個單位的消費者均分a個單位的物資。真正對數學發(fā)展起到決定性作用的一個步驟是把由兩個數構成的符號a/b當成一個數來看待，并且定義一套它所服從的運算規(guī)則。借助“分餅”這類生活經驗，我們可以看出，對于整數a, b, c，有(ac)/(bc)=a/b，并且(a/b)+(c/d) = (ad+bc)/(bd), (a/b)·(c/d)=(ac)/(bd)。為了讓新的數能夠用于度量長度、體積、質量，這種定義是必要的。但在數學歷史上，數學家們經過了很長的時間才意識到：從邏輯上看，新的符號的運算規(guī)則只是我們的定義，它是不能被“證明”的，沒有任何理由要求我們必須這么做。正如我們定義0的階乘是1一樣，這么做僅僅是為了讓排列數A(n,n)仍然有意義并且符合原有的運算法則，但我們絕對不能“證明”出0!=1來。事實上，我們完全可以定義(a/b) + (c/d) = (a+c)/(b+d)，它仍然滿足基本的算術規(guī)律;雖然在我們看來，這種定義所導出的結果非常之荒謬，但沒有任何規(guī)定強制我們不能這么定義。只要與原來的公理和定義沒有沖突，這種定義也是允許的，它不過是一個不適用于度量這個世界的絕大多數物理量的、不被我們熟知和使用的、另一種新的算術體系罷了。

　　我們稱所有形如a/b的數叫做有理數。有理數的出現讓整個數系變得更加完整，四則運算在有理數的范圍內是“封閉”的了，也就是說有理數與有理數之間加、減、乘、除的結果還是有理數，可以沒有限制地進行下去。從這一角度來看，我們似乎不大可能再得到一個“在有理數之外”的數了。

　　當我們的數系擴展到有理數時，整個數系還出現了一個本質上的變化，這使我們更加相信數系的擴展已經到頭了。我們說，有理數在數軸上是“稠密”的，任何兩個有理數之間都有其它的有理數(比如它們倆的算術平均值)。事實上，在數軸上不管多么小的一段區(qū)間內，我們總能找到一個有理數(分母m足夠大時，總有一個時刻1/m要比區(qū)間長度小，此時該區(qū)間內至少會出現一個分母為m的有理數)。這就使得人們會理所當然地認為，有理數已經完整地覆蓋了整個數軸，所有的數都可以表示成a/b的形式。

　　難以置信的是，這樣的數竟然不能覆蓋整個數軸;除了形如a/b的數以外，數軸上竟然還有其它的數!這是早期希臘數學最重要的發(fā)現之一。那時，古希臘人證明了，不存在一個數a/b，使得其平方恰好等于2。平方之后等于2的數不是沒有(可以用二分法找出這個數)，只是它不能表示成兩個整數之比罷了。用現在的話說就是，根號2不是有理數。你可以在這里看到至少5種證明根號2不能表示成整數與整數之比的方法。根號2這種數并不是憑空想象出來的沒有實際意義的數，從幾何上看它等于單位正方形的對角線長。我們現有的數竟然無法表達出單位正方形的對角線長這樣一個簡單的物理量!因此，我們有必要把我們的數系再次進行擴展，使其能夠包含所有可能出現的量。我們把所有能寫成整數或整數之比的數叫做“有理數”，而數軸上其它的數就叫做“無理數”。它們合在一起就是“實數”，代表了數軸上的每一個點。

　　其實，構造一個無理數遠沒有那么復雜。我們可以非常輕易地構造出一個無理數，從而說明無理數的存在性。把所有自然數串起來寫在一起所得到的Champernowne常數0.12345678910111213141516…顯然是個無理數?？紤]用試除法把有理數展開成小數形式的過程，由于余數的值只有有限多種情況，某個時刻除出來的余數必然會與前面重復，因此其結果必然是一個循環(huán)小數;而Champernowne常數顯然不是一個循環(huán)小數(不管你宣稱它的循環(huán)節(jié)是什么，我都可以構造一個充分長的數字串，使得你的循環(huán)節(jié)中的某個數字根本沒在串中出現，并且顯然這個串將在Champernowne常數中出現無窮多次)。這個例子說明，數軸上還存在有大量的無理數，帶根號的數只占無理數中微不足道的一部分。這個例子還告訴我們，不是所有的無理數都像pi一樣可以用來測試人的記憶力和Geek程度。

　　在定義無理數的運算法則中，我們再次遇到了本文開頭介紹自然數時所面臨的問題：究竟什么是無理數?無理數的運算該如何定義?長期以來，數學家們一直受到這個問題的困惑。19世紀中期，德國數學家Richard Dedekind提出了Dedekind分割，巧妙地定義了無理數的運算，使實數理論得到了進一步的完善。

　　在此之前，我們一直是用有序數對來定義一種新的數，并定義出有序數對之間的等價關系和運算法則。但Champernowne常數這種讓人無語的無理數的存在使得這種方法能繼續(xù)用于無理數的定義的希望變得相當渺茫。Dedekind不是用兩個或多個有理數的數組來定義無理數，而是用全體有理數的一個分割來定義無理數。我們把全體有理數分成兩個集合A和B，使得A中的每一個元素都比B中的所有元素小。顯然，滿足這個條件的有理數分割有且僅有以下三種情況：

　　1. A中有一個最大的元素a*。例如，定義A是所有小于等于1的有理數，B是所有大于1的有理數。

　　2. B中有一個最小的元素b*。例如，定義A是所有小于1的有理數，B是所有大于等于1的有理數。

　　3. A中沒有最大的元素，且B中沒有最小的元素。例如，A由0、所有負有理數和所有平方后小于2的正有理數組成，B由所有平方后大于2的正有理數組成。每一次出現這種情況，我們就說這個分割描述了一個無理數。

　　注意，“A中有最大元素a*且B中有最小元素b*”這一情況是不可能出現的，這將違背有理數的稠密性。a*和b*都是有理數，它們之間一定存在其它的有理數，而這些有理數既不屬于集合A，也不屬于集合B，因此不是一個分割。

　　為什么每一種情況3都描述了一個確定的無理數呢?其實這非常的形象。由于A里面沒有最大的元素，因此我們可以永不停息地從A里面取出越來越大的數;同樣地，我們也可以不斷從B里面取出越來越小的數。這兩邊的數將越來越靠近，它們中間夾著的那段區(qū)間將越來越小，其極限就是數軸上的一個確定的點，這個點大于所有A里的數且小于所有B里的數。但集合A和B已經包含了所有的有理數，因此這個極限一定是一個無理數。因此從本質上看，Dedekind分割的實質就是用一系列的有理數來逼近某個無理數。

　　你也許想到了，現在我們可以很自然地定義出無理數的運算。我們把一個無理數所對應的Dedekind分割記作(A,B)，則兩個無理數(A,B)和(C,D)相加的結果就是(P,Q)，其中集合P中的元素是由A中的每個元素與C中的每個元素相加而得到，余下的有理數則都屬于集合Q。我們也可以用類似的辦法定義出無理數的乘法。另外，我們能夠很快地驗證，引入無理數后我們的運算仍然滿足交換律、結合率等基本規(guī)律，這里就不再多講了。