高一數學函數學習方法

　　函數是高中數學學習里的重點內容。下面是學習啦小編網絡收集整理的高一數學函數學習方法以供大家學習。

　　高一數學函數學習方法之觀察法

　　通過對函數定義域、性質的觀察，結合函數的解析式，求得函數的值域。

　　例1求函數y=3+√(2-3x) 的值域。

　　點撥：根據算術平方根的性質，先求出√(2-3x) 的值域。

　　解：由算術平方根的性質，知√(2-3x)≥0，

　　故3+√(2-3x)≥3。

　　點評：算術平方根具有雙重非負性，即：(1)被開方數的非負性，(2)值的非負性。

　　本題通過直接觀察算術平方根的性質而獲解，這種方法對于一類函數的值域的求法，簡捷明了，不失為一種巧法。

　　練習：求函數y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案：值域為：{0，1，2，3，4，5｝)

　　高一數學函數學習方法之反函數法

　　當函數的反函數存在時，則其反函數的定義域就是原函數的值域。

　　例2求函數y=(x+1)/(x+2)的值域。

　　點撥：先求出原函數的反函數，再求出其定義域。

　　解：顯然函數y=(x+1)/(x+2)的反函數為:x=(1-2y)/(y-1),其定義域為y≠1的實數,故函數y的值域為{y∣y≠1,y∈R｝。

　　點評：利用反函數法求原函數的定義域的前提條件是原函數存在反函數。這種方法體現逆向思維的思想，是數學解題的重要方法之一。

　　練習：求函數y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案：函數的值域為{y∣y<-1或y>1｝)

　　高一數學函數學習方法之配方法

　　當所給函數是二次函數或可化為二次函數的復合函數時,可以利用配方法求函數值域

　　例3：求函數y=√(-x2+x+2)的值域。

　　點撥：將被開方數配方成完全平方數，利用二次函數的最值求。

　　解：由-x2+x+2≥0,可知函數的定義域為x∈[-1，2]。此時-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0，9/4]

　　∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函數的值域是[0,3/2]

　　點評：求函數的值域不但要重視對應關系的應用,而且要特別注意定義域對值域的制約作用。配方法是數學的一種重要的思想方法。

　　練習：求函數y=2x-5+√15-4x的值域.(答案:值域為{y∣y≤3})

　　高一數學函數學習方法之判別式法

　　若可化為關于某變量的二次方程的分式函數或無理函數,可用判別式法求函數的值域。

　　例4求函數y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。

　　點撥：將原函數轉化為自變量的二次方程，應用二次方程根的判別式，從而確定出原函數的值域。

　　解：將上式化為(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0 (*)

　　當y≠2時,由Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0，解得：2

　　當y=2時,方程(*)無解。∴函數的值域為2

　　點評：把函數關系化為二次方程F(x,y)=0，由于方程有實數解，故其判別式為非負數，可求得函數的值域。常適應于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函數。

　　練習：求函數y=1/(2x2-3x+1)的值域。(答案：值域為y≤-8或y>0)。

　　高一數學函數學習方法之最值法

　　對于閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數y=f(x),可求出y=f(x)在區(qū)間[a,b]內的極值,并與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函數的最值,可得到函數y的值域。

　　例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且滿足x+y=1,求函數z=xy+3x的值域。

　　點撥：根據已知條件求出自變量x的取值范圍，將目標函數消元、配方，可求出函數的值域。

　　解：∵3x2+x+1>0，上述分式不等式與不等式2x2-x-3≤0同解，解之得-1≤x≤3/2，又x+y=1，將y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),

　　∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函數z在區(qū)間[-1,3/2]上連續(xù)，故只需比較邊界的大小。

　　當x=-1時，z=-5;當x=3/2時，z=15/4。

　　∴函數z的值域為{z∣-5≤z≤15/4｝。

　　點評：本題是將函數的值域問題轉化為函數的最值。對開區(qū)間，若存在最值，也可通過求出最值而獲得函數的值域。

　　高一數學函數學習方法之圖象法

　　通過觀察函數的圖象，運用數形結合的方法得到函數的值域。

　　高一數學函數學習方法之單調法

　　利用函數在給定的區(qū)間上的單調遞增或單調遞減求值域。

　　例1求函數y=4x-√1-3x(x≤1/3)的值域。

　　點撥：由已知的函數是復合函數，即g(x)= -√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定義域為x≤1/3，在此區(qū)間內分別討論函數的增減性，從而確定函數的值域。

　　高一數學函數學習方法之換元法

　　以新變量代替函數式中的某些量，使函數轉化為以新變量為自變量的函數形式，進而求出值域。

　　例2求函數y=x-3+√2x+1 的值域。

　　點撥：通過換元將原函數轉化為某個變量的二次函數，利用二次函數的最值，確定原函數的值域。

　　高一數學函數學習方法之比例法

　　對于一類含條件的函數的值域的求法，可將條件轉化為比例式，代入目標函數，進而求出原函數的值域。

　　例4已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函數z=x2+y2的值域。

　　點撥：將條件方程3x-4y-5=0轉化為比例式，設置參數，代入原函數。

　　解：由3x-4y-5=0變形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k為參數)

　　∴x=3+4k,y=1+3k,

　　∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。

　　當k=-3/5時，x=3/5,y=-4/5時，zmin=1。

　　函數的值域為{z|z≥1｝.

　　有關高中數學函數學習方法推薦：

　　函數把運動學帶進了數學.函數本身講的是數的互動，而靜則是運動過程中的某一即時狀態(tài).動以靜為參照，沒有參照物的運動是沒有意義的，同樣沒有“靜數”的函數也無意義.當變量(動數)的個數較多時，我們先考慮一對互動中的變數，而把其他變數暫視靜止(常數或參數)。今天我們就來告訴大家高中數學函數學習技巧。

　　例如，考慮二次函數y=ax2+bx+c時，是把x,y看作一對互動的變數，而把a,b,c看作“靜數”.其實，a,b,c也在變化，只是要等到需要考慮它們的變化時再把它們視作變數.?

　　?●典例示范?

　　【例1】 設雙曲線 與直線x+y=1相交于兩個不同的點A和B，求雙曲線離心率的取值范圍.?

　　【分析】 求取值范圍就是求離心率e的值域.為此，我們要尋求e的函數式.?

　　【解答】 按雙曲線離心率的關系式，有 ??

　　【插語】 公式e= 本來是“靜式”，現在讓其運動起來，成了函數式f (a).啟發(fā)我們求函數e=f (a)的定義域，即a的取值范圍.?

　　【續(xù)解】 由雙曲線與直線相交于兩點，得方程組?

　　【插語】 我們并非要從這個方程中解得x和y的值，而是要由“方程組有2個解”的條件求出a2的取值范圍.?

　　【續(xù)解】 消y后整理得?

　　函數e=f (a)= 在(0，1)和(1， )上都是減函數，故有f (a)> 且f (a)≠ .即所求范圍是 .?

　　【點評】 函數解題，動靜相依，動靜互控，從而實現由簡單函數與復合函數的互動，以及函數與方程，函數與不等式的互動.?

　　【附錄】 以下我們用函數性質討論a2的取值范圍.?

　　由方程組解得：a2=h(x)= .由于 ≠0,所以a2≠1.因為 ，所以a2≤2.?

　　由于相交的兩點A、B對應著不同的x值，因此a2到x的對應是1對2，因此在h (x)中x2,由此得到a2≠2. 故有a2<2.?

　　【例2】 解方程(x+6)2003+x2003+2x+6=0.?

　　【解答】 將原方程變形得(x+6)2003+(x+6)=(-x)2003+(-x).?

　　由方程的特點，我們構造函數f x)=x2003+x，知f (x)是x∈R上的單調遞增函數，又f (x+6)= f (-x),故x+6=-x，即x=-3.?

　　【點評】 此題從方程的特點入手，利用函數思想，構造了函數f (x)=x2003+x，把解方程的問題變?yōu)橛懻摵瘮档男再|的問題，巧妙地求出了方程的解.??

　　【例3】 在xOy平面上給定一曲線y2-2x=0.?

　　(Ⅰ)設點A的坐標為( ,0)，曲線上距點A最近的點P的坐標及相應的距離|PA|.?

　　(Ⅱ)設點A的坐標為(a,0)，a∈R，曲線上點到點A的距離的最小值.?

　　【解答】 (Ⅰ)設P(x,y)為曲線上任意一點，y2=2x(x≥0),。